MATERIA: Cálculo Diferencial

    TEMA: –Integrales Indefinidas

    ALUMNO: Santos Domínguez Reyes

El Origen del cálculo integral se remonta a 2,500 años antes de Cristo aproximadamente en la antigua Grecia, donde se registran los primeros estudios que dieron pie a la rama de la matemática definida como Calculo.

Historia del cálculo integral

Primeros aportes del origen del cálculo integral

El punto de partida de la creación del cálculo fue el interés en resolver dos problemas que no fueron resueltos en la antigua Grecia, uno era el cálculo de áreas y el otro era el trazo de tangentes. A través de los años muchos matemáticos y filósofos dieron aportes importantes y relevante como es el caso de Arquímedes (287 a. C. –  212 a. C) de Siracusa, donde junto a Eudoxo utilizaron el «método de agotamiento» o exhaución para encontrar el área de un círculo con la exactitud finita requerida mediante el uso de polígonos regulares inscritos de cada vez mayor número de lados.

En el periodo tardío de Grecia,  Pappus de Alejandría hizo contribuciones sobresalientes en este ámbito, registrando como dificultad el trabajar con números irracionales y las paradojas de Zenón de Elea impidieron formular una teoría sistemática del cálculo en el periodo antiguo.

Aportes modernos del origen del cálculo integral

A mediados del siglo XVII se afianza el estudio del cálculo infinitesimal donde Cavalieri y Torricelli ampliaron el uso de los infinitesimales, por su parte Descartes y Fermat utilizaron el álgebra para encontrar el área y las tangentes apareciendo por primera vez la integración y derivación en términos modernos. Fermat y Isaac Barrow tenían la certeza de que ambos cálculos estaban relacionados, aunque fueron Newton (hacia 1660) en Inglaterra y Leibniz en Alemania (hacia 1670) quienes demostraron que los problemas del área y la tangente son inversos, lo que se conoce como teorema fundamental del cálculo.

Desde entonces Newton y Leibniz son considerados como los padres del cálculo infinitesimal.

Consolidación del cálculo integral

A pesar de que la historia establece a Newton y Leibniz como los padres del cálculo infinitesimal, fue en el siglo XVIII, donde se establece el concepto de Cálculo y sus ramificaciones destacando el cálculo diferencial, el cálculo integral y de variaciones.

El cálculo integral se consolida por los estudios de  J.Bernoulli, quien escribió el primer curso sistemático de cálculo integral en 1742, posteriormente Euler consiguió hacer grandes avances en la mejora de las aproximaciones numéricas para resolver integrales, conocido hoy día como el Método de Euler.

Los 

Últimos aportes a la historia del cálculo integral

Los últimos aportes al cálculo, así como al cálculo integral se dan en pleno siglo XX con tres nuevos avances:

1.- La integral de Lebesgue, debida al francés Henri Lebesgue (1875-1941).

2.- el Análisis no-Estándar, debido básicamente a Abraham Robinson (1918-1974).

3.- La integral de Riemann generalizada, debida a los matemáticos Ralph Henstock  y Jaroslav Kurzweil.

Con estos últimos aportes, podemos estar seguro de que no se ha dicho todo en relación al cálculo integral y no es de extrañar que nuevos matemáticos presentes nuevas ideas en esta rama.

Historia sobre la integral indefinida

Los creadores del Análisis Infinitesimal introdujeron el Cálculo Integral, considerando los problemas inversos de sus cálculos. En la teoría de fluxiones de Newton la mutua invisibilidad de los problemas del cálculo de fluxiones y fluentes se evidenciaba claramente. Para Leibniz el problema era más complejo: la integral surgía inicialmente como definida. No obstante, la integración se reducía prácticamente a la búsqueda de funciones primitivas. La idea de la integración indefinida fue inicialmente la dominante.

El Cálculo Integral incluía además de la integración de funciones, los problemas y la teoría de las ecuaciones diferenciales, el cálculo variacional, la teoría de funciones especiales, etc.Tal formulación general creció inusualmente rápido. Euler necesitó en los años 1768 y 1770 tres grandes volúmenes para dar una exposición sistemática de él.

Según Euler el Cálculo Integral constituía un método de búsqueda, dada la relación entre los diferenciales o la relación entre las propias cantidades. La operación con lo que esto se obtenía se denominaba integración. El concepto primario de tal Cálculo, por supuesto, era la integral indefinida. El propio Cálculo tenía el objetivo de elaborar métodos de búsqueda de las funciones primitivas para funciones de una clase lo más amplia posible.

Los logros principales en la construcción del Cálculo Integral inicialmente pertenecieron a J. Bernoulli y después a Euler, cuyo aporte fue inusitadamente grande. La integración llevada por este último hasta sus últimas consecuencias y las cuadraturas por él encontradas, todavía constituyen el marco de todos los cursos y tratados modernos sobre Cálculo Integral, cuyos textos actuales son sólo modificaciones de los tratados de Euler en lo relativo al lenguaje. Estos juicios se confirman con la revisión concreta del famoso Cálculo Integral de Euler y su comparación con los textos actuales.

Euler, partiendo del concepto de integral indefinida como básico, introdujo un sistema completo de definiciones.  La integral, junto con una constante aditiva arbitraria, la denominó total. La fijación de una constante arbitraria conducía a una integral parcial. El valor de esta última, para cierto valor determinado del argumento, daba el equivalente a la integral definida. Esta sucesión armoniosa resultó imposible de mantener en las cuestiones aplicadas. El necesario cambio del símbolo de Leibniz   para el caso de la integración definida tampoco fue encontrado inmediatamente. El símbolo al que estamos acostumbrados y que ya nos parece tan natural fue encontrado por Founier sólo en los años 1819-1822.

En el curso del desarrollo del Cálculo Integral surgió una serie de problemas de carácter especial. Los esfuerzos en su resolución condujeron a la elaboración de nuevas ramas del Análisis Matemático, estas últimas, tarde o temprano se separaron de su fuente inicial, el Cálculo Integral del siglo XVIII.

El cálculo de integrales de tipos especiales ya a comienzos de siglo conllevó al descubrimiento de una serie de resultados de la teoría de las funciones especiales como por ejemplo la Función Beta 

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Laplace consideró las integrales con límites imaginarios.

Esta rama del Cálculo Integral jugó un papel importante en la creación de la teoría de funciones de variable compleja como una de sus fuentes. Así en el transcurso del siglo XVIII se formó en el Cálculo Integral un conjunto de métodos, próximo a su actual contenido y nivel. Este Cálculo, además, dio comienzo a nuevas ramas del Análisis Matemático, como por ejemplo la teoría de las funciones especiales. De él se separaron y transformaron en campos matemáticos independientes: la teoría de ecuaciones diferenciales y el cálculo variacional. El Cálculo integral sirvió,  finalmente, como una de las fuentes de la teoría de las funciones analíticas.

Saludos...

Información tomado de http://www.tach.ula.ve/vermig/integral/historia.htm 

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