Santos Dominguez

MATERIA: Cálculo Integral

TEMA: –Integración por fracciones parciales

ALUMNO: Santos Domínguez Reyes

PROFESOR: Gómez Castillo José Manuel Alejandro

Integración por fracciones parciales

Lo aprendido

Buen día, en esta clase aprendimos lo que son las integraciones por fracciones parciales. Es un método que nos ayuda a resolver una integral de una manera más sencilla, aquellas funciones que difícilmente se pueden resolver por algún método algebraico. El profesor nos enseñó que hay 4 reglas para resolver estas funciones, la primera que nos enseño es cuando el denominador es de 1er grado y no se repite, la segunda es cuando el denominador de la fracción es de 1er grado y esta repetido. Nos puse ejemplos con varios ejercicios con lo que pudimos comprender mejor dichas reglas.

En este tema vimos cómo se descompone una fracción para encontrar el valor de A, B, C,... para que la función sea más fácil de integrar y encontrar una solución más sencilla de resolver.

Lo investigado

¿Qué son las fracciones parciales?

Las fracciones parciales son una técnica que permite expresar una función racional como la suma de fracciones más simples. En términos matemáticos, se refiere a la descomposición de una fracción donde el numerador y el denominador son polinomios. El objetivo es simplificar el proceso de integración, ya que las integrales fracciones simples son mucho más fáciles de resolver que una fracción compuesta más compleja.

Para practicar la integración por fracciones parciales, es crucial conocer cómo se estructura el denominador de la fracción. Esto se debe a que la forma del denominador determinará la manera en que se llevará a cabo la descomposición de fracciones. Un denominador factorizado es un requisito esencial para aplicar con éxito esta técnica.

Además, al descomponer funciones racionales, se facilita el trabajo con otras técnicas de integración, como la integración por sustitución, ya que las integrales por fracciones parciales tienden a simplificar los problemas complejos en partes más manejables.

Requisitos previos para usar esta técnica

Antes de comenzar a aprender sobre la integración por fracciones parciales, existen algunos requisitos previos que son cruciales para una comprensión más profunda y efectiva de la técnica:

Conocimiento de polinomios: Debes estar familiarizado con la factorización de polinomios y las propiedades de los mismos.

División de polinomios: Es fundamental poder realizar la división de polinomios, ya que a menudo será necesario llevar el grado del numerador a ser menor que el del denominador.

Comprensión de integrales: Un entendimiento básico sobre cómo calcular integrales es esencial antes de explorar la integración por fracciones parciales.

Integrales de función racional

Las funciones racionales son aquellas que se expresa como cociente de dos polinomios, es decir;

$f(x)=\frac{P(x)}{Q(X)}$

donde P(x) y Q(x) son polinomios tal que Q(x)≠0

Resolución de integrales de funciones racionales

Para resolver integrales con funcones racionales primero verificamos si el grado del polinomio de P(x) es mayor o igual al de Q(x), procedemos a dividir P(x) entre Q(x), obteniendo el cociente (C(x)) y el resto (R(x)), siendo estos también polinomios, tal que la suma de los grados de C(x) y Q(x) es igual al grado de P(x) y el grado de R(x) es menor que el de Q(x), entonces;

$P(x)=Q(x).C(x)+R(x)$

$\frac{P(x)}{Q(x)}=C(x)+\frac{R(x)}{Q(x)}$

Esto conlleva a:

$\int \frac{P(x)}{Q(x)}dx=\int C(x)dx+\int \frac{R(x)}{Q(x)}dx$

Por lo general la primera integral es resuelta de forma directa, al ser expresada como una suma. Con respecto a la segunda integral, el grado de polinomio de R(x) es menor que el grado de Q(x), siendo llamada como fracción racional propia la cual se debe transformar en una fracción racional simple, presentándose dos forma;

$\frac{A}{(ax+b)^{n}}$

$\frac{Cx+D}{(ax^{2}+bx+c)^{n}}$

Es importante acotar que A,B,C,D,a,b y c, son números reales fijos donde a es diferente a cero; n es un numero entero positivo y el trinomio $ax^{2}+bx+c$ ni tiene raíces reales, es decir, $b^{2}-4ac< 0$ .

Ante lo expuesto, una función racional propia $\frac{R(x)}{Q(x)}$ se reduce al calculo del integral;

$\int\frac{dx}{(ax+b)^{n}}$

$\int \frac{Cx+D}{(ax^{2}+bx+c)^{n}} dx$

Para la resolución de estos integrales, la primera es por cambio de variable y la segunda debemos hacer una descomposición de fracciones propias a fracciones simple.

Teorema para la descomposición de fracciones propias en suma de fracciones simple

Este teorema permite su aplicación en la resolución de descomposición de fracciones propias en una suma de fracciones simple, la misma cita:

Cada polinomio P(x) con coeficiente reales, se puede expresar como un producto P(x)=A(x).B(x), donde A(x) es un producto de potencias de polinomios de primer grado, diferente entre si y B(x) es un producto de potencias de polinomios de segundo grado, diferentes entre si, ninguno de los cuales posee raíces reales.

Descomposición de fracciones propias en suma de fracciones simple

Para la descomposición de una fracción propia $\frac{R(x)}{Q(x)}$ a una suma de fracciones simple, procedemos primero a factorizar al denominador como lo establece el teorema anterior.

Al factorizar Q(x), se obtendrán n sumando de la forma $(ax+b)^{n}$ , quedando;

$\frac{A_{1}}{(ax+b)}+\frac{A_{2}}{(ax+b)^{2}}+\frac{A_{3}}{(ax+b)^{3}}...\frac{A_{n}}{(ax+b)^{n}}$

En el caso que Q(x) sea de la forma $(ax^{2}+bx+c)^{n}$ donde $b^{2}-4ac< 0$ , la descomposición da lugar a;

$\frac{C_{1}x+D_{1}}{ax^{2}+bx+c}+\frac{C_{2}x+D_{2}}{(ax^{2}+bx+c)^{2}}+\frac{C_{3}x+D_{3}}{(ax^{2}+bx+c)^{3}}...+\frac{C_{n}x+D_{n}}{(ax^{2}+bx+c)^{n}}$

para conseguir los valores de $C_{1}$ , $D_{1}$ , $C_{2}$ … $C_{n}$ y $D_{n}$ , se desarrolla la suma de las fracciones asociando las potencias iguales a X, igualando los coeficientes, presentándose un sistema de ecuaciones permitiendo conseguir cada valor.

Es de señalar que este procedimiento de conseguir dichos valores se le conoce como el Método de los coeficientes indeterminados.

Seguidamente es necesario realizar una derivación del numerador el cual esta igualado a la suma de las fracciones que también se derivaran, de esta forma culminar el procedimiento.

Ejemplo de descomposición de fracciones propias en suma de fracciones simple

Si tenemos la fracción propia $\frac{x}{(x-2)(x-1)^{4}}$ para descomponerla en fracciones simple:

Solución ejercicio 1

$\frac{x}{(x-2)(x-1)^{4}}=\frac{A}{x-2}+\frac{B}{x-1}+\frac{C}{(x-1)^{2}}+\frac{D}{(x-1)^{3}}+\frac{E}{(x-1)^{4}}$

donde;

$x=A(x-1)^{4}+B(x-2)(x-1)^{3}+C(x-2)(x-1)^{2}+D(x-2)(x-1)+E(x-2)$

derivamos;

$1=4A(x-1)^{3}+B(x-1)^{3}+3B(x-2)(x-1)^{2}+C(x-1)^{2}+2C(x-2)(x-1)+D(x-1)+D(x-2)+E$

quedando que;

si consideramos a x=1 tenemos que;

$1=4A(1-1)^{3}+B(1-1)^{3}+3B(1-2)(1-1)^{2}+C(1-1)^{2}+2C(1-2)(x-1)+D(1-1)+D(1-2)+E$

$1=-D+E$

para x=2

$1=4A+B+C+D+E$

para x=0

$1=-4A-7B+5C-3D+E$

resolviendo ese sistema de ecuaciones obtenemos que;

A=2, B=2, C=-2, D=-2, E=-1

$=\frac{2}{x-2}-\frac{2}{x-1}-\frac{2}{(x-1)^{2}}-\frac{2}{(x-1)^{3}}-\frac{1}{(x-1)^{4}}$

Ejercicio 2

Hallar la integral:

$\int \frac{x^{2} + x + 3}{x - 2} d x$

Solución

Este caso corresponde a un integrando de la forma $\frac{P (x)}{Q (x)}$ donde el grado de $P (x)$ es mayor o igual que el grado de $Q (x)$ .

En tal caso, lo primero que se debe hacer es efectuar la división de polinomios. De esta manera, el cociente $\frac{P (x)}{Q (x)}$ queda expresado como:

$\frac{P (x)}{Q (x)} = q (x) + \frac{r (x)}{Q (x)}$

Donde $q (x)$ es el cociente y $r (x)$ el residuo. Para el integrando del ejemplo, se obtiene:

$(x^{2} + x + 3) \div (x - 2) = (x + 3) + \frac{9}{x - 2}$

Con esto en mente, la integral a resolver se reescribe así:

$\int (\frac{x^{2} + x + 3}{x - 2}) d x = \int [(x + 3) + \frac{9}{x - 2}] d x$

Obteniéndose tres integrales inmediatas:

$\int (\frac{x^{2} + x + 3}{x - 2}) d x = \int x d x + 3 \int d x + 9 \int \frac{d x}{x - 2}$

$\int (\frac{x^{2} + x + 3}{x - 2}) d x = \frac{x^{2}}{2} + 3 x + 9 \ln ∣ x - 2 ∣ + C$

Encontrar la integral:

$\int \frac{3 x + 4}{x^{3} - 2 x - 4} d x$

Solución

En el denominador de esta integral aparece un polinomio de grado $3$ , que se puede factorizar mediante el método de Ruffini.

$\begin{array}{rrrrr} 1 & 0 & - 2 & - 4 \\ 2 & 2 & 4 & 4 \\ 1 & 2 & 2 & 0 \end{array}$

El polinomio resultante no se puede factorizar, así que el denominador queda así:

$x^{3} - 2 x - 4 = (x - 2) (x^{2} + 2 x + 2)$

De manera que el integrando se reescribe como:

$\int \frac{3 x + 4}{x^{3} - 2 x - 4} d x = \int \frac{3 x + 4}{(x - 2) (x^{2} + 2 x + 2)} d x$

Puesto que el denominador consta de un factor lineal y otro factor cuadrático e irreducible, la fracción algebraica se puede descomponer de esta forma:

$\frac{3 x + 4}{x^{3} - 2 x - 4} = \frac{A}{(x - 2)} + \frac{B x + C}{(x^{2} + 2 x + 2)}$

$= \frac{A (x^{2} + 2 x + 2) + (B x + C) (x - 2)}{(x - 2) (x^{2} + 2 x + 2)}$

$= \frac{A x^{2} + 2 A x + 2 A + B x^{2} - 2 B x + C x - 2 C}{(x - 2) (x^{2} + 2 x + 2)}$

$= \frac{(A + B) x^{2} + (2 A - 2 B + C) x + 2 A - 2 C}{(x - 2) (x^{2} + 2 x + 2)}$

Igualando los numeradores:

$(A + B) x^{2} + (2 A - 2 B + C) x + 2 A - 2 C = 3 x + 4$

Se obtiene el sistema de ecuaciones:

$A + B = 0 2 A - 2 B + C = 3 2 A - C = 4$

Cuya solución es: $A = 1$ , $B = - 1$ , $C = - 1$ .

La integral propuesta se reescribe de esta forma:

$\int \frac{3 x + 4}{x^{3} - 2 x - 4} d x = \int [\frac{1}{x - 2} + \frac{- x - 1}{x^{2} + 2 x + 2}] d x$

$= \int \frac{d x}{x - 2} - \int \frac{(x + 1) d x}{x^{2} + 2 x + 2}$

La primera integral es directa:

$\int \frac{d x}{x - 2} = \ln ∣ x - 2 ∣ + C$

La segunda se resuelve fácilmente a través de un cambio de variable:

$u = x^{2} + 2 x + 2$

$d u = (2 x + 2) d x = 2 (x + 1) d x$

$\int \frac{(x + 1) d x}{x^{2} + 2 x + 2} = \int \frac{d u}{2 u} + C = \frac{1}{2} \ln ∣ x^{2} + 2 x + 2 ∣ + C$

Reuniendo ambos resultados:

$\int \frac{3 x + 4}{x^{3} - 2 x - 4} d x = \ln ∣ x - 2 ∣ - \frac{1}{2} \ln ∣ x^{2} + 2 x + 2 ∣ + C$

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Saludos

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