MATERIA: Cálculo Integral

    TEMA: –Integrales Indefinidas

    ALUMNO: Santos Domínguez Reyes

    PROFESOR: Gómez Castillos José Manuel Alejandro

Lo prendido en clase

Buen Dia, lo que aprendí en clase fue sobre la derivada integral, el profe nos explicó las 7 reglas de la integral indefinida cada una con su ejemplo, la explicación fue muy sencilla cuando los problemas se veían muy complicado, el profe Alex nos enseñó a convertirla a una regla más sencilla para poder desarrollarla y así es más sencillo de llegar al resultado.

Información consultada

La integral indefinida es la operación inversa de la derivación y para denotarla se emplea el símbolo de la “s” alargada: ∫. Matemáticamente la integral indefinida de la función F(x) se escribe:

∫F(x) dx = f(x) + C

Donde el integrando F(x) = f´(x) es una función de la variable x, que es a su vez la derivada de otra función f(x), denominada la integral o la antiderivada.

A su vez la C es una constante que se conoce como constante de integración, la cual acompaña siempre el resultado de toda integral indefinida. Enseguida veremos su origen mediante un ejemplo.

Supongamos que nos piden encontrar la siguiente integral indefinida I:

I=∫x.dx

De inmediato se identifica a f´(x) con x. Significa que debemos proporcionar una función f(x) tal que su derivada sea x, algo que no es difícil:

f(x) = ½ x2

Sabemos que al derivar f(x) obtenemos a f´(x), lo comprobamos:

[ ½ x2]´ = 2. (½ x) = x

Ahora bien, la función: f(x) = ½ x2 + 2 también satisface el requisito, ya que la derivación es lineal y la derivada de una constante es 0. Otras funciones que al ser derivadas dan como resultado f(x) = son:

½ x2 -1, ½ x2 + 15; ½ x2 – √2…

Y en general todas las funciones de la forma:

f(x) =½ x2 + C

Cómo calcular una integral indefinida

En el ejemplo anterior se calculó ∫x.dx porque se conocía una función f(x) que al ser derivada daba como resultado el integrando.

Por eso a partir de las funciones más conocidas y sus derivadas se pueden resolver rápidamente integrales básicas.

Además, hay algunas propiedades importantes que amplían el abanico de posibilidades al resolver una integral. Sea k un número real, entonces se cumple que:

1.- ∫kdx = k ∫dx =kx + C

2.- ∫kf(x)dx = k ∫f(x)dx

3.- ∫h(x)dx = ∫[f(x) ± g(x)]dx = ∫f(x)dx ± ∫g(x)dx

4.- ∫xn dx= [xn+1/n+1]  + C  (n ≠ -1)

5.- ∫x -1 dx = ln x +C

Dependiendo del integrando, hay varios métodos de tipo algebraico así como numérico para resolver integrales. Aquí mencionamos:

-Cambio de variable

-Sustituciones algebraicas y trigonométricas.

-Integración por partes

-Descomposición en fracciones simples para integrando de tipo racional

-Uso de tablas

-Métodos numéricos.

Hay integrales que pueden resolverse por más de un método. Lamentablemente, no existe un criterio único para determinar a priori el método más efectivo para resolver una integral determinada.

De hecho, algunos métodos permiten llegar a la solución de determinadas integrales más rápidamente que otros. Pero lo cierto es que para adquirir destreza resolviendo integrales hay que practicar con cada método.

 Ejemplo resuelto

Resolver:

\int x\sqrt{x-3}\: dxSolución

Hagamos un cambio de variable sencillo para la cantidad subradical:

u = x-3

Con:

x = u+3

Derivando a ambos lados en cualquiera de la dos expresiones se obtiene:

dx = du

Ahora sustituimos en la integral, la cual denotaremos como I:

I = ∫x √(x-3)dx = ∫(u+3) (√u )du = ∫(u+3) u1/2 du

Puede servirte:   Esperanza matemática: fórmula, propiedades, ejemplos, ejercicio

Aplicamos propiedad distributiva y multiplicación de potencias de igual base, y se obtiene:

I = ∫ (u3/2 + 3 u1/2) du

Por la propiedad 3 de la sección anterior:

I =  ∫ u3/2 du +  ∫ 3u1/2 du

Ahora se aplica la propiedad 4, que se conoce como regla de las potencias:

Primera integral

∫ u3/2 du = [u 3/2 + 1 / (3/2 + 1)] + C1 =

=[u5/2  / (5/2)] + C1 = (2/5) u5/2  + C1

Segunda integral

∫ 3u1/2 du = 3 ∫u1/2 du = 3[u3/2  / (3/2)] + C2 =

= 3(2/3) u3/2  + C2 = 2u3/2  + C2

Después se juntan los resultados en I:

I = (2/5) u5/2  + 2u3/2  + C

Las dos constantes se pueden reunir en una sola sin problemas. Por último no hay que olvidar regresar el cambio de variable que se hizo antes y expresar el resultado en términos de la variable original x:

I = (2/5) (x-3)5/2  + 2(x-3)3/2  + C

Es posible factorizar el resultado:

I = 2(x-3) 3/2 [(1/5) (x-3)  +1] + C = (2/5)(x-3) 3/2 (x+2) + C

Videos de ayuda

Fuente:Integral indefinida: propiedades, aplicaciones, cálculo (ejemplos) (lifeder.com)

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