MATERIA: Cálculo Diferencial

   TEMA: –Calculo de volúmenes mediante Método de                              discos y arandelas. 

    ALUMNO: Santos Domínguez Reyes

    PROFESOR: Gómez Castillo José Manuel Alejandro

Lo aprendido

Buen día, en esta clase el profesor nos enseñó a encontrar el volumen de un sólido en revolución a través de los métodos de discos y arandelas. el método de disco es encontrar la figura obtenida como consecuencia de hacer rotar o girar una región plana alrededor de una recta cualquiera contenida en un plano. en el método de arandela nos enseñó a calcular el volumen de un sólido de revolución con un agujero,

Con estos métodos el profesor nos dijo que podemos calcular el volumen de sólido rectangular, volumen de una esfera de un cono y de una pirámide, aplicando cada fórmula para cada volumen, me pareció no tan complido, con las practicas espero mejorar en el desarrollo y llegar a comprenderlo mejor.

Lo investigado

El volumen y el método de las rebanadas

Así como el área es la medida numérica de una región bidimensional, el volumen es la medida numérica de un sólido tridimensional. La mayoría de nosotros ha calculado los volúmenes de los sólidos utilizando fórmulas geométricas básicas. El volumen de un sólido rectangular, por ejemplo, puede calcularse multiplicando la longitud, la anchura y la altura V=lwh.  Las fórmulas del volumen de una esfera (V=43πr3),

  un cono (V=13πr2h),

  y una pirámide (V=13Ah) también se ha introducido. Aunque algunas de estas fórmulas se derivaron utilizando únicamente la geometría, todas ellas pueden obtenerse utilizando la integración.

También podemos calcular el volumen de un cilindro. Aunque la mayoría de nosotros piensa que un cilindro tiene una base circular, como una lata de sopa o una barra de metal, en matemáticas la palabra cilindro tiene un significado más general.

 Definimos la sección transversal de un sólido como la intersección de un plano con el sólido. Se define un cilindro como cualquier sólido que se genera trasladando una región plana a lo largo de una línea perpendicular a la región, denominada eje del cilindro. Así, todas las secciones transversales perpendiculares al eje de un cilindro son idénticas. El sólido mostrado en la Figura 6.11 es un ejemplo de cilindro con base no circular. Entonces, para calcular el volumen de un cilindro basta con multiplicar el área de la sección transversal por la altura del cilindro:  V=A.h.  En el caso de un cilindro circular recto (como una lata de sopa), esto se convierte en  V=πr2h.

Si un sólido no tiene una sección transversal constante (y no es uno de los otros sólidos básicos), puede que no tengamos una fórmula para su volumen. En ese caso, podemos utilizar una integral definida para calcular el volumen de ese sólido. Para ello, rebanamos el sólido, estimamos el volumen de cada rebanada y luego sumamos esos volúmenes estimados. Las rebanadas deben ser todas paralelas entre sí, y cuando las juntamos todas, deberíamos obtener el sólido completo. Consideremos, por ejemplo, el sólido S que se muestra en la Figura 6.12, que se extiende a lo largo del eje x.

Queremos dividir S en rodajas perpendiculares al eje x.  Como veremos más adelante en el capítulo, puede haber ocasiones en las que queramos cortar el sólido en alguna otra dirección, por ejemplo, en cortes perpendiculares al eje y. La elección de cómo cortar el sólido es muy importante. Si nos equivocamos, los cálculos pueden ser bastante complicados. Más adelante en este capítulo, examinaremos algunas de estas situaciones en detalle y veremos cómo elegir la dirección para cortar el sólido. Sin embargo, a efectos de esta sección, utilizamos cortes perpendiculares al eje x.

Sólido con una sección transversal variable.

Ya que el área de la sección transversal no es constante, suponemos que A(x) representa el área de la sección transversal en el punto x. Ahora supongamos que P={x0,x1…,Xn} es una partición regular de [a,b], y para i=1,2,…n, supongamos que Si representan la porción de S que se extiende desde xi−1paraxi. La siguiente figura muestra el sólido cortado con nn =3.

El sólido S se dividió en tres cortes perpendiculares al ejex.

Por último, para i=1, 2,n, supongamos que x∗i es un punto arbitrario en [xi−1, xi]. Entonces el volumen de la rebanada Si se puede estimar mediante V(Si)≈A(x∗i)Δx. Sumando estas aproximaciones, vemos que el volumen de todo el sólido S puede aproximarse por 

V(S)≈∑i=1nA(x∗i)Δx.

A estas alturas, podemos reconocer esto como una suma de Riemann, y nuestro siguiente paso es tomar el límite como n→∞. Entonces tenemos

V(S)=límn→∞∑i=1nA(x∗i)Δx=∫abA(x)dx.

La técnica que acabamos de describir se llama método de las rebanadas. Para aplicarlo, utilizamos la siguiente estrategia.

Estrategia para la resolución de problemas: Búsqueda de volúmenes por el método de las rebanadas

1. Examine el sólido y determine la forma de una sección transversal del mismo. A menudo es útil hacer un dibujo si no lo tiene.

2. Determine una fórmula para el área de la sección transversal.

3. Integre la fórmula del área sobre el intervalo apropiado para obtener el volumen.

Sólidos de revolución

Si una región en un plano se hace girar alrededor de una línea en ese plano, el sólido resultante se llama sólido de revolución, como se muestra en la siguiente figura.

Esta es la región que gira alrededor del eje x. (b) A medida que la región comienza a girar alrededor del eje, forma un sólido de revolución. (c) Este es el sólido que resulta cuando se completa la revolución.

Ejemplo

Uso del método de las rebanadas para hallar el volumen de un sólido de revolución

Utilice el método de las rebanadas para hallar el volumen del sólido de revolución delimitado por las gráficos de f(x)=x2−4x+5,x=1,yx=4,$f\left(x\right)=x^2-4x+5,x=1,\text{y}x=4,$ y con rotación alrededor del ejex.

Solución

Utilizando la estrategia de resolución de problemas, primero dibujamos el gráfico de la función cuadrática sobre el intervalo [1,4]$\left[1,4\right]$ como se muestra en la siguiente figura.

Figura 6.16 Una región utilizada para producir un sólido de revolución.

A continuación, gire la región alrededor del eje x, como se muestra en la siguiente figura.

Figura 6.17 Dos vistas, (a) y (b), del sólido de revolución producido al girar la región en la Figura 6.16 alrededor del x.$x\text{.}$

Como el sólido se formó al girar la región alrededor del eje x$\text{−eje, las secciones transversales son círculos (paso 1}$). El área de la sección transversal, entonces, es el área de un círculo, y el radio del círculo viene dado por f$\left(x\right).$ Utilice la fórmula del área del círculo:

A(x)=πr2=π[f(x)]2=π(x2−4x+5)2(paso 2).$$A\left(x\right)=\pi r^2=\pi {\left[f\left(x\right)\right]}^2=\pi {\left(x^2-4x+5\right)}^2\text{(paso 2)}.$$

El volumen, entonces, es (paso 3)

$$\begin{array}{cc}\hfill V& ={\displaystyle \underset{a}{\overset{b}{\int }}A\left(x\right)}dx\hfill \\ & ={\displaystyle {\int }_1^4\pi {\left(x^2-4x+5\right)}^2}dx=\pi {\displaystyle {\int }_1^4\left(x^4-8x^3+26x^2-40x+25\right)}dx\hfill \\ & ={\pi \left(\frac{x^5}{5}-2x^4+\frac{26x^3}{3}-20x^2+25x\right)|}_1^4=\frac{78}{5}\pi .\hfill \end{array}$$

El volumen es 78π/5.

El método del disco

Cuando utilizamos el método de las rebanadas con sólidos de revolución, se suele denominar método de los discos porque los cortes utilizados para sobre aproximar el volumen de esos sólidos son discos. Para ver esto, considere el sólido de revolución generado al girar la región entre el gráfico de la función f(x)=(x–1)2+1 y la intersección en x en el intervalo [−1,3] alrededor del eje x.  El gráfico de la función y un disco representativo se muestran en la Figura 6.18(a) y (b). La región de revolución y el sólido resultante se muestran en la Figura 6.18(c) y (d).

Un rectángulo delgado para aproximar el área bajo una curva. (b) Un disco representativo formado al girar el rectángulo alrededor del  x.  (c) La región bajo la curva gira en torno del  x,  dando como resultado (d) el sólido de revolución.

Ya utilizamos el desarrollo formal de la suma de Riemann de la fórmula del volumen al desarrollar el método de las rebanadas. Sabemos que

V=∫baA(x)dx.

La única diferencia con el método de los discos es que conocemos de antemano la fórmula del área de la sección transversal, que es el área de un círculo. Esto da la siguiente regla.

La única diferencia con el método de los discos es que conocemos de antemano la fórmula del área de la sección transversal, que es el área de un círculo. Esto da la siguiente regla.

Regla: el método del disco

Supongamos que f(x) es continua y no negativa. Defina R como la región delimitada arriba por el gráfico de f(x), abajo por el eje x−eje, a la izquierda por la línea x=a, y a la derecha por la línea x=b.  Entonces, el volumen del sólido de revolución que se forma al girar R alrededor del eje x

  viene dada por

V=∫baπ[f(x)]2dx.$$\mathrm{<br>}$$

El volumen del sólido que hemos estudiado viene dado por

V=∫baπ[f(x)]2dx=∫3–1π[(x–1)2+1]2dx=π∫3–1[(x–1)4+2(x–1)2+1]dx=π[15(x–1)5+23(x–1)3+x]∣∣3−1=π[(325+163+3)−(−325−163−1)]=412π15al cuadrado3.$$\begin{array}{cc}\hfill \mathrm{<br>}& {\displaystyle \mathrm{<br>}}\hfill \\ & {\displaystyle \mathrm{<br>}}\hfill \\ & <span\; face=""Neue\; Helvetica\; W01",\; Helvetica,\; Arial,\; sans-serif"\; style="color:\; \#424242;\; text-align:\; left;">Veamos\; algunos\; ejemplos.</span>\hfill \end{array}$$

Uso del método de los discos para encontrar el volumen de un sólido de revolución 1

Utilice el método del disco para calcular el volumen del sólido de revolución generado 

que se forma al girar la región entre el gráfico de f(x)=x−−√ y el eje x en el intervalo [1,4]

  alrededor del eje x.

Solución

Los gráficos de la función y del sólido de revolución se muestran en la siguiente figura.

Figura 6.19 (a) La función f(x)=x−−√$f\left(x\right)=\sqrt{x}$ en el intervalo [1,4].$\left[1,4\right].$ b) El sólido de revolución obtenido al girar la región bajo el gráfico de f(x)$f\left(x\right)$ alrededor del eje x.$x.$

Tenemos

$$\begin{array}{cc}\hfill \mathrm{<br>V}& ={\displaystyle {\int }_a^b\pi {\left[f\left(x\right)\right]}^{2}dx}\hfill \\ & ={\displaystyle {\int }_1^4\pi {\left[\sqrt{x}\right]}^2}dx=\pi {\displaystyle {\int }_1^{4}xdx}\hfill \\ & ={\frac{\pi }{2}{x}^2|}_1^4=\frac{15\pi }{2}.\hfill \end{array}$$

El volumen es (15$\pi )\text{/2 unidades}$3

 El método de arandelas

Algunos sólidos de revolución tienen cavidades en el centro; no son sólidos hasta el eje de revolución. A veces, esto es solo el resultado de la forma de la región de revolución con respecto al eje de revolución. En otros casos, las cavidades surgen cuando la región de revolución se define como la región entre los gráficos de dos funciones. Una tercera forma de que esto ocurra es cuando se selecciona un eje de revolución distinto al eje x o  y

 Cuando el sólido de revolución tiene una cavidad en el centro, las rodajas utilizadas para aproximar el volumen no son discos, sino arandelas (discos con agujeros en el centro). Por ejemplo, consideremos la región delimitada arriba por el gráfico de la función 

$f\left(x\right)=\sqrt{x}$

  y abajo por el gráfico de la función g(x)=1 en el intervalo [1,4].  Cuando esta región gira en torno al eje  x−eje,el resultado es un sólido con una cavidad en el centro, y las rodajas son arandelas. El gráfico de la función y una arandela representativa se muestran en la Figura 6.2(a) y (b). La región de revolución y el sólido resultante se muestran en la Figura 6.22(c) y (d).

Un rectángulo delgado en la región entre dos curvas. (b) Un disco representativo que se forma al girar el rectángulo alrededor del eje  x.  (c) La región entre las curvas sobre el intervalo dado. (d) El sólido de revolución resultante.

El área de la sección transversal, entonces, es el área del círculo exterior menos el área del círculo interior. En este caso,

A(x)=π(x−−√)2−π(1)2=π(x–1).$$A\left(x\right)=\pi {\left(\sqrt{x}\right)}^2-\pi {\left(1\right)}^2=\pi \left(x–1\right).$$

Entonces el volumen del sólido es

$$\begin{array}{cc}\hfill \mathrm{<br>}& V={\displaystyle {\int }_a^{b}A\left(x\right)}dx\hfill \\ & ={\displaystyle {\int }_1^4\pi }\left(x–1\right)dx={\pi \left[\frac{x^2}{2}-x\right]|}_1^4=\frac{9}{2}\pi {\text{al cuadrado}}^3.\hfill \end{array}$$

Generalizando este proceso se obtiene el método de las arandelas.

Utilizar el método de las arandelas

 Calcule el volumen de un sólido de revolución que se forma al girar la región delimitada arriba por el gráfico de f(x)=x y abajo por el gráfico de g(x)=1/x en el intervalo [1,4] alrededor del eje x.

Solución

Los gráficos de las funciones y el sólido de revolución se muestran en la siguiente figura.

 La región entre los gráficos de las funciones  f(x)=x  y  g(x)=1/x  en el intervalo  [1,4].  (b) Al girar la región alrededor del eje  x

 Tenemos

El volumen es (15π)/2$\left(15\pi \right)\text{/}2$ unidades3.

Anexo algunos videos de ayuda

Fuente: https://openstax.org/books/c%C3%A1lculo-volumen-1/pages/6-2-determinar-los-volumenes-mediante-el-corte