MATERIA: Cálculo Integral

   TEMA: –Integracion por parte

    ALUMNO: Santos Domínguez Reyes

    PROFESOR: Gómez Castillo José Manuel Alejandro

Lo aprendido

Buen día, en este tema vimos lo que es la integración por parte, aquí el profesor nos enseñó a resolver una ecuación de la manera más sencilla aplicando el método de integración por parte. primero nos enseñó a separar la ecuación en dos partes, una llamada U y la otra DV su derivada y su integral a través de la siguiente fórmula . No la había comprendido bien hasta que me puse analizar algunos videos y me di cuenta de que una parte se deriva y la otra se integra, comprendiendo esto se me hizo más sencillo comprender y resolver los problemas.

Lo investigado

Integración por Partes

¿Qué es la Integración por Partes y por qué es Importante?

La integración por partes es una herramienta esencial en el campo del cálculo integral. Se basa en una versión modificada de la regla del producto en la derivación y es especialmente útil cuando necesitas encontrar la integral de un producto de dos funciones. Esta técnica es relevante en una amplia gama de aplicaciones matemáticas, científicas e ingenieriles, y es fundamental para resolver problemas en física, estadística, ingeniería y más.

Paso a Paso: Cómo Aplicar la Integración por Partes

Fórmula Integración por partes

 

Paso 1: Elección Estratégica de “u” y “dv”

La elección adecuada de las funciones “u” y “dv” es un primer paso crucial. Generalmente, seleccionamos “u” de tal manera que su derivada “du” sea más simple que “u” en sí mismo, y elegimos “dv” de modo que su integral “v” sea más simple que “dv”. Esta elección estratégica se basa en la regla mnemotécnica “LIATE,” que prioriza las siguientes funciones:

• Logaritmos (logaritmos y funciones inversas).
• Inversas trigonométricas.
• Algebraicas (polinomios y funciones algebraicas).
• Trigonométricas.
• Exponenciales.

Paso 2: Cálculo de “du” y “v”

Una vez que hayas elegido “u” y “dv,” calcula la derivada “du” de “u” y la integral “v” de “dv” utilizando las reglas de derivación e integración correspondientes. Esto es esencial para preparar las piezas necesarias para la integración por partes.

Paso 3: Aplicación de la Fórmula de Integración por Partes

La fórmula fundamental de integración por partes es:

Sustituye “u,” “dv,” “du,” y “v” en esta fórmula y realiza los cálculos necesarios para simplificar la integral resultante en el lado derecho de la ecuación.

Paso 4: Resolución de la Integral Resultante

Si es posible, resuelve la integral resultante. En algunos casos, es necesario aplicar el método de integración por partes varias veces o combinarlo con otras técnicas de integración para llegar a una solución final.

Ejemplos

Integral 1 

SOLUCIÓN

Tenemos el producto $x\cdot e^x$.

Observad que la exponencial no cambia al derivar ni al integrar, así que no importa si le asignamos $u$ ó $dv$.

No ocurre lo mismo con $x$:

• Al derivar se reduce su exponente en 1 y pasa a ser una constante.
• Al integrar aumenta su exponente en 1.

Por tanto, la elección más apropiada es $u=x$ y $du=dx$.

Derivamos $u$ para calcular $du$:

Integramos $dv$ para calcular $v$:

Aplicamos la fórmula de integración por partes:

Finalmente, resolvemos la nueva integral (la de la exponencial) y añadimos la constante de integración $C\in R$:

Nota: como ya hemos dicho, es importante escoger $x=u$ para reducir el grado del monomio al derivar. Si por el contrario hubiésemos escogido $x=dv$, entonces $v=\frac{x^2}{2}$, aumentando el grado (de 1 a 2) y complicando más la integral, pues el factor de la exponencial se mantiene igual y nos aparece la integral

$$\int \frac{x^2}{2}\cdot e^{x}dx$$

Integral 2 

SOLUCIÓN

Tenemos el producto 

$x\cdot \cos \left(x\right)$.

Observad que no importa si $\cos \left(x\right)$ es $u$ ó $dv$, ya que obtenemos un seno tanto si derivamos como si integramos. Sin embargo, ya sabemos que es mejor considerar $u=x$ para reducir su grado.

Derivamos $u=x$ para calcular $du$:

Integramos $dv=\cos \left(x\right)dx$ para calcular $v$:

Aplicamos la fórmula de integración por partes:

Solo queda calcular la integral de $\sin \left(x\right)$, que es $-\cos \left(x\right)$, y añadir la constante de integración $C\in R$:

Nota: si hubiésemos tomado la elección $u=\cos \left(x\right)$ y $dv=xdx$, entonces tendríamos $du=-\sin \left(x\right)dx$ y $v=x^2/2$. De este modo, habríamos complicado la integral ya que habría aparecido la integral

$$\int \frac{x^2\sin \left(x\right)}{2}dx$$

Integral 3 

SOLUCIÓN

Podemos ver el integrando como un producto: $1\cdot \ln \left(x\right)$.

En esta integral sólo hay una posibilidad de elección y debe ser $u=\ln \left(x\right)$ y $dv=dx$ (ya que si escogemos $dv=\ln \left(x\right)dx$, deberíamos calcular la integral que queremos resolver para tener $v$).

Derivamos $u$ para calcular $du$:

Integramos $dv$ para calcular $v$:

Aplicamos la fórmula de integración por partes:

---

Integral 4 

SOLUCIÓN

En un principio, nos interesa considerar $u=x^2$ para reducir su exponente al derivar. Pero entonces, deberíamos integrar $dv=\ln \left(x\right)dx$, lo cual no es una buena idea (aunque previamente hemos calculado dicha integral). Por tanto, escogemos $u=\ln \left(x\right)$ y $dv=x^{2}dx$.

Derivamos $u$ para calcular $du$:

Integramos $dv$ para calcular $v$:

Aplicamos la fórmula de integración por partes:

En el integrando tenemos una constante (1/3) que podemos extraer y un cociente de potencias de $x$ que podemos simplificar:

Integral 5 

SOLUCIÓN

La única dificultad de esta integral es integrar la raíz cuadrada.

Como ya hemos venido diciendo, escogemos $u=\ln \left(x\right)$ y, por tanto, $dv=\sqrt{x}dx$.

Derivamos $u$ para calcular $du$:

Integramos $dv$ para calcular $v$ (escribiendo la raíz cuadrada como una potencia):

Aplicamos la fórmula de integración por partes:

Operamos un poco y resolvemos:

Integral 6 

SOLUCIÓN

La dificultad de esta integral solo consiste en que debemos aplicar integración por partes dos veces.

Integrar o derivar $\cos \left(x\right)$ nos proporciona $\pm \sin \left(x\right)$, así que no mejora la situación. Luego escogemos $u=x^2$ para rebajar su grado al derivar y $dv=cos\left(x\right)dx$.

Derivamos $u$ para calcular $du$:

Integramos $dv$ para calcular $v$:

Aplicamos la fórmula de integración por partes:

Como ya hemos indicado, debemos aplicar de nuevo integración por partes para calcular la integral obtenida. Debemos mantener la elección anterior: $u=x$ y $dv=\sin \left(x\right)$. En caso contrario, deshacemos el paso anterior.

Derivamos $u$ para calcular $du$:

Integramos $dv$ para calcular $v$:

Aplicamos la fórmula de integración por partes:

Por tanto, la integral inicial es

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